Bjalončík debutoval v najvyššej súťaži už ako osemnásťročný v drese rodného Popradu. Predtým si prešiel prakticky všetkými vekovými kategóriami “kamzíkov” a na jednu sezónu si vyskúšal aj fínsku juniorskú súťaž v tíme TPS Turku. Ďalšie extraligové štarty pridal v projekte slovenskej reprezentácie do 20 rokov, ktorá v tom čase pôsobila v extralige. Od sezóny 2019/20 bol stabilnou súčasťou zostavy Popradu počas nasledujúcich troch sezón. V lete 2022 prestúpil do konkurenčných Michaloviec, avšak druhú časť vlaňajšej sezóny, vrátane štvrťfinále playoff proti neskoršiemu víťazovi Nitre, opäť strávil v Poprade.

Doteraz Bjalončík odohral v extralige 296 zápasov s bilanciou 62 gólov a 70 asistencií. Slovensko reprezentoval na MS do 18 rokov v roku 2016. Na novú kapitolu vo svojej kariére v hlavnom meste sa teší: “Som veľmi vďačný, že o mňa Slovan prejavil záujem a od vedenia klubu som dostal konkrétnu ponuku. Slovan je stále najväčšia hokejová značka na Slovensku. Teším sa na nových spoluhráčov, trénerov a fanúšikov v Bratislave. Verím, že budeme mať spolu dlhú a úspešnú sezónu,” povedal po podpise zmluvy Bjalončík pre klubový web Slovana.

Športový úsek Slovana hráča sledoval počas uplynulej sezóny. “Peter urobil v poslednom období viditeľný progres. Páčila sa nám jeho hra v playoff, kde patril medzi najlepších hráčov svojho tímu. Potvrdil, že je už komplexným hráčom, ktorý si dokáže udržať kvalitu svojho výkonu aj v kľúčových zápasoch sezóny. Bol zároveň jednou z volieb nášho hlavného trénera Petra Oremusa, ktorý mu určite nájde optimálne miesto v našej zostave tak, aby sa mohol v Slovane ďalej zlepšovať,” povedal na margo príchodu Bjalončíka do Slovana športový riaditeľ Rostislav Dočekal.